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Cálculo del volumen de un sólido de revolución por el método de  secciones transversales.  

Se conoce como sólido de revolución a aquel que se obtiene mediante la rotación de una región del plano, alrededor de una recta o eje de rotación, ubicada en el mismo plano. 

Para calcular el volumen de un sólido de revolución se utilizan  varios métodos., siendo los más utilizados:

1.  Método de secciones transversales 
2.  Método del disco
3.  Método de  la arandela o método del anillo
4.  Método de casquetes esféricos. 

Hemos querido definir y ejemplarizar el método de secciones transversales. Se conoce como  sección transversal  de  un  sólido  “S”  a  la  región  plana  formada  por  la intersección de un plano con dicho sólido, como se muestra en la siguiente figura:

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Se denota por A(x) el área de la sección transversal correspondiente al punto " X " . Consideramos una partición del intervalo  [ a, b ], donde Xo = a y Xn es igual a "b", teniendo a < X1 <X2 < X3 < X4 < .....< Xn-1.< b . Si se corta el sólido "S" en rodajas por planos paralelos Pk  perpendiculares al eje OX , en los puntos Xk de la partición. Se aproxima la rodaja entre los planos correspondientes a los puntos Xk-1 y  Xk , por un cilindro, cuya base es A(x).. El volumen de una rodaja vendrá dada por V(x) = A(x) ( Xk - X k-1 ). 

El volumen de l sólido se puede calcular mediante la sumatoria de los volumen de todas las "n" rodajas, de las que esta formado el sólido. Dicha sumatoria por la sumatoria de Riemann se convierte en una integral definida, como se muestra en la siguiente definición 

Calcular el vólumen

Para conocer el volumen suponemos que conocemos el área de cada de las secciones transversales que producimos en el sólido, que denotamos por A(x) al área de la sección correspondiente al punto "x" y consideramos una partición del intervalo a < x1 < x2 < ... < b. Cortamos al sólido en rodajas por planos paralelos perpendiculares al eje OX en los puntos Xk de la partición. El volumen del sólido se puede aproximar por la suma de los volúmenes de los cilindros  y podemos calcular dichos volumen como la integral definida desde a hasta b de A(x) dx.

Definición de volumen de sólidos por el método de secciones transversales

   Se conoce como sección transversal de un solido "S" a la región plana formada por la intersección de un plano con dicho solido. Esto se puede ver ilustrado en el siguiente esquema:  

ALGUNOS EJEMPLOS DE VOLÚMENES SECCIONADOS

1) Sólido donde las secciones transversales son triángulos en el plano xy

2) La base del volumen del sólido es la parábola que se muestra en la siguiente figura, con ecuación x = y^2  donde las secciones transversales son triángulos perpendiculares al eje x, como se muestra en la figura. 

3) La base del volumen del sólido es la parábola que se muestra en la siguiente figura, con ecuación x ^2 + 4 y^2 = 4  donde las secciones transversales perpendiculares a la base son parábolas, como se muestra en la figura. 

En la figura se observa la sección transversal del  sólido de revolución:

La siguiente figura nos da una mejor idea de como son algunas de las figuras 

geométricas más comunes a las que se les puede calcular el volumen mediante el 

método de las secciones transversales:

Se puede calcular el volumen del cono desde su base hasta el plano paralelo a su base que lo corta y genera una figura como la siguiente:

Donde las secciones transversales paralelas al  plano que 
contiene a la base son círculos de radio variable.

Ejemplos de vólumenes

Algunos ejemplos de volúmenes cortados en secciones 
transversales en nuestra vida cotidiana pueden ser:

    El pan de caja, es un solido cuya base se puede aproximar a un rectángulo y cuyas regiones perpendiculares a la base son otros rectángulos, el volumen del pan se genera al sumar el volumen de todas las rebanadas.

Otro ejemplo podría ser un vegetal cuya forma se aproxima a

una figura geométrica regular como un cilindro, como en el

caso de las zanahorias:

En este caso seccionamos a nuestro cilindro en secciones 
transversales aproximadas a círculos. Nuevamente el volumen 
total sería la suma del volumen de todas las rodajas.